MATRIKS

Operasi matriks

1. kesamaan dua matriks: A=B

2. jumlah/selisih dua matriks: A ± B

3. perkalian skalar: cA

4. perkalian dua matriks AB

Partisi matriks: Matriks blok

Perkalian matriks sebagai kombinasi linier

5. transpose suatu matriks

6. trace suatu matriks bujur sangkar

Sifat-sifat aljabar matriks

1. A+B=B+A

2. A+(B+C)=(A+B)+C

3. A(BC)=(AB)C

4. A(B+C)=AB+AC

5. (A+B)C=AC+BC

6. c(A+B)=cA+cB

7. (a+b)C=aC+bC

8. a(bC)=(ab)C

9. a(BC)=(aB)C

Matriks nol dan sifat-sifatnya:

1. AB=O tdk berarti salah satu dari A atau B harus nol

2. A+O=A

3. A-A=O

4. O-A=-A

5. AO=O, OA=O namun AO tdk harus sama dengan OA

Matriks identitas (I) adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diagonalnya 1 dan elemen lainnya 0.

Untuk sembarang matriks A yg conformable dg I berlaku IA=A= AI (dlm hal ini I yg dimaksud mungkin berbeda ukurannya).

Th: bila A matriks bujur sangkar maka bentuk echelon baris terreduksi dari A akan berupa I atau memuat baris nol.

Matriks inverse:

Suatu matriks bujur sangkar B dikatakan inverse dari A bila AB=BA=I.

Jika ada matriks B yg demikian, maka A dikatakan invertable. Dan B dinotasikan sebagai A^-1.

Th: Inverse suatu matriks adalah unique.

Th: Bila A dan B matriks dengan ukuran sama dan keduanya invertable, maka:

1. AB juga invertable

2. (AB)^-1=B^-1 A^-1

Pangkat dari matriks:

Th: bila A memiliki inverse

ranspose suatu matriks:

Jika diberikan matriks A, maka transpose dari matriks A, yaitu A^T, adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengubah baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom pada matriks A^T.

Th: (AB)^T=B^TA^T

Th: jika A memiliki inverse maka demikian juga transposenya. Dlm hal ini (A^T)^-1=(A^-1)^T

Matriks elementer: adalah matriks yang dapat diperoleh dari suatu matriks identitas dengan melakukan satu operasi baris elementer.

Th: Jika diketahui E adalah suatu matriks elementer maka EA adalah matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris elementer sebagai mana matriks E didapat dari I.

Th: Diberikan A suatu matriks bujur sangkar. Keempat pernyataan berikut adalah ekivalen.

1. A memiliki inverse

2. Ax=0 hanya memiliki solusi trivial

3. Bentuk eselon ter-reduksi dari A adalah I

4. A dapat dinyatakan sebagai perkalian berhingga matriks-matriks elementer

Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen baris bila B dapat diturunkan dari A dengan melakukan sejumlah berhingga operasi baris elementer atau sebaliknya.

Mencari inverse matriks melalui matriks elementer:

Temukan matriks-matriks elementer E₁…E_n sedemikian hingga:

In practice: [A|I]  [I|A^-1]

Solusi SPL:

Jika A bujur sangkar dan memiliki inverse, maka Ax=b memiliki tepat satu solusi, yaitu x=A^-1b

Th: Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dan BA=I atau AB=I maka B adalah inverse dari A dan sebaliknya.

Th: Jika A adalah matriks ukuran nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

1. A mempunyai inverse

2. Ax=0 hanya memiliki solusi trivial

3. Bentuk eschelon baris tereduksi dari A adalah I

4. A dapat dinyatakan sebagai perkalian berhingga matriks elementer

5. Ax=b konsisten untuk setiap vektor b

6. Ax=b memiliki tepat satu solusi untuk setiap vektor b.

Fundamental problem:

Jika diberikan matriks A berukuran mxn, carilah himpunan vektor ruas kanan b sedemikian hingga Ax=b konsisten.

Caranya: bawa A|b ke bentuk echelon baris, kemudian tentukan kondisi untuk b.

Matriks-matriks khusus

Pandang A suatu matriks bujur sangkar:

1. A dikatakan matriks diagonal bila A(i,j)=0 untuk semua i j

2. A dikatakan matriks segitiga atas bila A(i,j)=0 utk semua ij.

3. A dikatakan simetrik bila A(i,j)=A(j,i)

Th:

1. perkalian dua matriks segitiga bawah/atas adalah segitiga bawah/atas

2. suatu matriks segitiga akan mempunyai inverse bila semua elemen diagonalnya tidak nol

3. inverse dari suatu matriks segitiga atas/bawah jika ada adalah matriks segitiga atas/bawah

4. bila A dan B simetrik, maka A B juga simetrik (namun perkalian dua matriks simetrik belum tentu simetrik)

5. jika A simetrik dan memiliki inverse, maka inverse A juga simetrik